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1. Paris, automne 1675 : un nouveau calcul
Nous allons suivre, presque jour après jour, le raisonnement d'un mathématicien.
Gottfried Wilhelm Leibniz a vingt-neuf ans. Ce jeune Allemand est à Paris depuis 1672 pour une mission diplomatique, et il y apprend les mathématiques de son temps. Il cherche une méthode générale pour calculer les tangentes. Il date chacun de ses brouillons : c'est grâce à eux que nous pouvons suivre sa pensée.
Le 11 novembre 1675, il invente une notation, la lettre \(d\). Son idée : quand une quantité \(u\) change un tout petit peu, il note \(du\) ce minuscule changement, qu'il imagine « infiniment petit ». Ainsi \(u\) devient \(u + du\), et \(v\) devient \(v + dv\).
Une précision
Leibniz appelait ces quantités \(x\) et \(y\). Pour ne pas les confondre avec la variable \(x\) de votre cours, nous les appelons \(u\) et \(v\), comme dans le théorème 2.
Premier calcul facile : si \(u\) change de \(du\) et \(v\) de \(dv\), de combien change une somme ou une différence ?
2. 11 novembre 1675 : une question
La somme était facile. Et le produit ?
Dans son brouillon du 11 novembre 1675, Leibniz se pose la question par écrit. Puisque, pour une somme, il suffit d'additionner les augmentations, peut-être suffit-il, pour un produit, de les multiplier ?
La question du 11 novembre
A-t-on \(d(uv) = du \times dv\) ? Dans le langage de votre cours : la dérivée d'un produit est-elle le produit des dérivées, \((u\,v)' = u' \times v'\) ?
Testons-le avec les outils de votre cours, sur des cas dont on connaît la réponse : des puissances de \(x\). Par exemple, avec \(u(x) = x\) et \(v(x) = x\), le produit est \(x^2\), de dérivée \(2x\), alors que \(u'(x) \times v'(x) = 1 \times 1 = 1\). À votre tour, sur un autre produit :
3. La méthode de Leibniz : développer
Ne pas deviner la formule : la calculer.
La méthode de Leibniz est la même que pour la somme : il regarde ce que devient le produit quand \(u\) devient \(u + du\) et \(v\) devient \(v + dv\). Le produit \(uv\) devient \((u + du)(v + dv)\), qu'il suffit de développer.
Le produit a donc augmenté de :
\[d(uv) = (u + du)(v + dv) - uv = u\,dv + v\,du + du\,dv.\]Il y a trois termes. Le dernier, \(du\,dv\), est le seul que proposait la question du 11 novembre. Que faire des deux autres ? C'est l'objet de l'écran suivant. Mais d'abord, un essai avec des nombres :
Voir ce calcul sur une figure (image moderne, ce n'est pas un dessin de Leibniz)
Si \(u\) et \(v\) sont les côtés d'un rectangle, \(uv\) est son aire. Quand les côtés s'allongent de \(du\) et \(dv\), l'aire gagnée se compose de deux bandes, \(u\,dv\) et \(v\,du\), et d'un petit coin, \(du\,dv\) : ce sont les trois termes du développement.
4. 21 novembre 1675 : négliger l'infiniment petit
Dix jours après sa question, Leibniz trouve la réponse.
L'idée décisive de Leibniz : \(du\) et \(dv\) sont infiniment petits, donc leur produit \(du\,dv\) est infiniment plus petit encore, même à côté de \(u\,dv\) et de \(v\,du\). Il le néglige. Pour s'en convaincre, donnons des valeurs : \(u = 3\), \(v = 2\), et des changements \(du = dv\) de plus en plus petits.
En négligeant \(du\,dv\), il reste la règle que Leibniz écrit le 21 novembre 1675, avec ses lettres \(x\) et \(y\) :
\[d(xy) = x\,dy + y\,dx.\]« Un théorème tout à fait remarquable, et général pour toutes les courbes. » Leibniz, manuscrit du 21 novembre 1675 (traduction d'après l'édition de J. M. Child, 1920).
La suite de l'histoire
En 1684, Leibniz publie sa méthode dans la revue Acta Eruditorum, règle du produit comprise, mais sans démonstration. Ses lecteurs s'interrogent : a-t-on le droit de négliger \(du\,dv\) ? En 1701, il détaille ce calcul, et en 1710 il en fait une loi : une quantité infiniment petite devant une autre peut être négligée.
5. Vérifier aujourd'hui, avec Python
Ce que Leibniz a trouvé à la main, une machine peut le contrôler.
Mettons face à face les deux formules, celle du 11 novembre et celle du 21 novembre. Écrite avec les dérivées, celle du 21 novembre devient \(u'\,v + u\,v'\). Testons-les sur le produit \(f(x) = x \times x^2\) : \(u(x) = x\) et \(v(x) = x^2\), avec \(u'(x) = 1\) et \(v'(x) = 2x\) (théorème 1). Le programme calcule en \(a = 2\) :
- la formule du 11 novembre, \(u'(a) \times v'(a)\) ;
- la formule du 21 novembre, \(u'(a)\,v(a) + u(a)\,v'(a)\) ;
- le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(a + h\), pour \(h\) de plus en plus petit.
La bonne formule est celle dont le taux se rapproche.
Si la console ne se charge pas, copiez le programme sur https://sciency.co/console.
Lire les résultats pour a = 2
Formule du 11 novembre : \(4\). Formule du 21 novembre : \(12\). Le taux se rapproche de \(12\) :
| \(h\) | taux |
|---|---|
| 0,1 | 12,61 |
| 0,01 | 12,0601 |
| 0,001 | 12,006 |
Python écrit un point au lieu d'une virgule et affiche parfois des chiffres parasites en fin de nombre : ce sont de minuscules erreurs d'arrondi, sans importance ici.
À vous : dans la première ligne, remplacez a = 2 par
a = , puis exécutez de nouveau.
6. Leibniz et votre cours : deux chemins
La même règle, démontrée de deux façons.
Votre cours démontre aussi la règle du produit (démonstration du théorème 2), mais pas comme Leibniz. C'est normal : les « quantités infiniment petites » ont longtemps gêné les mathématiciens. Au XIXe siècle, ils les ont remplacées par l'idée de tendre vers, celle de votre cours.
Leibniz, 1675
\(u\) et \(v\) changent de \(du\) et \(dv\), infiniment petits.
On développe \((u + du)(v + dv)\).
On néglige \(du\,dv\).
\(d(uv) = u\,dv + v\,du\).
Votre cours
\(x\) devient \(x + h\), avec \(h \neq 0\).
On écrit le taux de variation de \(u\,v\).
On fait tendre \(h\) vers \(0\).
\((u\,v)' = u'\,v + u\,v'\).
Les deux chemins mènent à la même règle. La différence est dans la façon de conclure : Leibniz néglige un terme, alors que votre cours ne néglige rien. Il écrit une égalité exacte du taux de variation, avec \(h \neq 0\), puis regarde vers quel nombre ce taux tend quand \(h\) tend vers \(0\).
La règle du produit (théorème 2)
\[(u\,v)' = u'\,v + u\,v'\]7. Ce qu'il faut retenir
Dix jours, une règle.
La chronologie
11 novembre 1675 : Leibniz se demande si
\(d(uv) = du \times dv\). Un contre-exemple montre que non.
21 novembre 1675 : en développant \((u + du)(v + dv)\) et en négligeant
\(du\,dv\), il obtient \(d(uv) = u\,dv + v\,du\).
1684 : il publie sa méthode.
XIXe siècle : l'idée de « tendre vers » remplace les infiniment
petits ; c'est celle de votre cours.
La règle du produit
\[(u\,v)' = u'\,v + u\,v' \qquad\text{et non}\qquad u' \times v'.\]La méthode de Leibniz à retenir : avant de croire une formule, la tester sur un cas simple dont on connaît la réponse ; un seul contre-exemple suffit à la rejeter.
Votre parcours
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